MATRIKS
LANJUTAN 3
Persamaan linear sering dipakai dalam proses
analisis, desain dan sintesis dari sistem perekayasaan. Bentuk yang paling
sederhana dari sistem persamaan linear adalah :
a.x = b
dimana a dan b adalah bilangan yang diketahui nilainya, sedangkan x adalah bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya.
Contoh : relasi antara resistansi dan tegangan listrik : I X R = V
Untuk sistem linear yang mempunyai dua persamaan dan dua variable yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut :
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk :
a 1x + a2 y = b
Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dalam peubah (variable) c dan peubah y.
Secara umum persamaan linear dalam n peubah x1, x2,………..xn didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk :
a1 x1 + x2 x2 + ….+ an xn = b
dengan a1, a2, a3,……………..an dan b merupakan konstanta bilangan riil
contoh : manakah yang termasuk persamaan linear dari persamaan persamaan berikut ini :
a. X + 3y = 7b. X + 3 y2 = 7c. 3x + 2y - z + xz = 4d. Y = ½ x + 3z + 1e. Y – sin x = 0f. + 2x2 ++ x3 =1
Jawab:
Persamaan a dan d termasuk persamaan linear
Persamaan b bukan persamaan linear sebab terdapat variable berpangkat 2
Persamaan c bukan persamaan linear karema melibatkan perkalian peubah
Persamaan e bukan perssaan linear karena terdapat bentuk sinus yang termasuk fungsi trigonometri
Persamaan f bukan persamaan linear karena melibatkan akar peubah
B. sistem Persamaan Linear
Sebuah himpunan berhingga dari persaan persamaan linear adalah peubah x1, x2, x3……..xndinamakan system persamaan linear atau system linear
Contoh :
4x1 – x2 + 3x3 =-1
3x1 + x2 + 9x3 = -4
X1 2x2 -3x3 =3
X – y =2
X + 2y = 5
Pemecahan suatu system persamaan linear adalah ukuran dari n bilangan s1, s2,…..sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubtitusikan terhadap persamaan – persamaan dalam system linear tersebut. Himpunan semua pemecahan system persamaan linear disebut himpunan pemecahan sistem persamaan linear.
Contoh: tentukanlah solusi system persamaan linear berikut:
X -2y = 8
3x +y = 3
x1 +2x2 –x3 =3
2x1 –x2 +3x3 = -4
3x1 +x2 + x3 = 1
Jawab:
a. X -2y = 8
3x +y = 3
Untuk memecahkan SPL tersebut kita gunakan cara eliminasi maupun cara subtitusi. Berikut ini akan digunakan cara eliminasi :
METODE CRAMER
kita punya persamaan x1 + 2x2 = 6 dan -3x1 +4x2 = 4. Biasanya kita menggunakan Metode Eliminasi atau Metode Substitusi. Tapi saya akan mencoba dengan cara yang sedikit berbeda yaitu dengan memanfaatkan determinan matriks, metode ini dinamakann Aturan Cramer. Metode ini untuk menyelesaikan persamaan seperti diatas atau lebih umum mencari solusi dari n persamaan dan n bilangan tak diketahui. Rumus yang akan digunakan pada Aturan Cramer ini dijamin pada teorema dibawah ini.
Teorema :
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A) 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah
x1 = , x2 = , …, xn =
dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.
B =
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Carilah solusi dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan cramer.
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 – 2x2 + 3x3 = 8
ubah terlebih dahulu kedalam bentuk matriks
A =
Karena bilangan takdiketahui atau solusinya ada 3, berarti kita bentuk matriks A1, A2 dan A3. Dengan matriks A1 dibentuk dari matriks A dengan mengganti entri-entri kolom pertama pada matriks A dengan nilai-nilai pada sebelah kanan sama dengan ( = ) di persamaan diatas yaitu . Kemudian untuk membentuk matriks A2, kita mengganti entri-entri kolom kedua matriks A dengan , begitu juga untuk membentuk matriks A3 yaitu mengganti entri-entri pada kolom ketiga. Sehingga diperoleh A1, A2 dan A3 seperti dibawah ini.
A1 = , A2 = , A3 = .
Untuk menghitung determinan pada matriks A, A1, A2 dan A3 dapat menggunakan menghitung determinan menggunakan kofaktor.
det(A) =
= a11C11 + a12C12 + a13C13
= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13
= a11M11 – a12M12 + a13M13
= 1 – 0 + 2
= 1[4(3)-6(-2)] – 0[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(-2)-4(-1)]
= 24 – 0 – 20
= 44
det(A1) =
= a11C11 + a12C12 + a13C13
= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13
= a11M11 – a12M12 + a13M13
a.x = b
dimana a dan b adalah bilangan yang diketahui nilainya, sedangkan x adalah bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya.
Contoh : relasi antara resistansi dan tegangan listrik : I X R = V
Untuk sistem linear yang mempunyai dua persamaan dan dua variable yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut :
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk :
a 1x + a2 y = b
Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dalam peubah (variable) c dan peubah y.
Secara umum persamaan linear dalam n peubah x1, x2,………..xn didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk :
a1 x1 + x2 x2 + ….+ an xn = b
dengan a1, a2, a3,……………..an dan b merupakan konstanta bilangan riil
contoh : manakah yang termasuk persamaan linear dari persamaan persamaan berikut ini :
a. X + 3y = 7b. X + 3 y2 = 7c. 3x + 2y - z + xz = 4d. Y = ½ x + 3z + 1e. Y – sin x = 0f. + 2x2 ++ x3 =1
Jawab:
Persamaan a dan d termasuk persamaan linear
Persamaan b bukan persamaan linear sebab terdapat variable berpangkat 2
Persamaan c bukan persamaan linear karema melibatkan perkalian peubah
Persamaan e bukan perssaan linear karena terdapat bentuk sinus yang termasuk fungsi trigonometri
Persamaan f bukan persamaan linear karena melibatkan akar peubah
B. sistem Persamaan Linear
Sebuah himpunan berhingga dari persaan persamaan linear adalah peubah x1, x2, x3……..xndinamakan system persamaan linear atau system linear
Contoh :
4x1 – x2 + 3x3 =-1
3x1 + x2 + 9x3 = -4
X1 2x2 -3x3 =3
X – y =2
X + 2y = 5
Pemecahan suatu system persamaan linear adalah ukuran dari n bilangan s1, s2,…..sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubtitusikan terhadap persamaan – persamaan dalam system linear tersebut. Himpunan semua pemecahan system persamaan linear disebut himpunan pemecahan sistem persamaan linear.
Contoh: tentukanlah solusi system persamaan linear berikut:
X -2y = 8
3x +y = 3
x1 +2x2 –x3 =3
2x1 –x2 +3x3 = -4
3x1 +x2 + x3 = 1
Jawab:
a. X -2y = 8
3x +y = 3
Untuk memecahkan SPL tersebut kita gunakan cara eliminasi maupun cara subtitusi. Berikut ini akan digunakan cara eliminasi :
METODE CRAMER
kita punya persamaan x1 + 2x2 = 6 dan -3x1 +4x2 = 4. Biasanya kita menggunakan Metode Eliminasi atau Metode Substitusi. Tapi saya akan mencoba dengan cara yang sedikit berbeda yaitu dengan memanfaatkan determinan matriks, metode ini dinamakann Aturan Cramer. Metode ini untuk menyelesaikan persamaan seperti diatas atau lebih umum mencari solusi dari n persamaan dan n bilangan tak diketahui. Rumus yang akan digunakan pada Aturan Cramer ini dijamin pada teorema dibawah ini.
Teorema :
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A) 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah
x1 = , x2 = , …, xn =
dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.
B =
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Carilah solusi dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan cramer.
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 – 2x2 + 3x3 = 8
ubah terlebih dahulu kedalam bentuk matriks
A =
Karena bilangan takdiketahui atau solusinya ada 3, berarti kita bentuk matriks A1, A2 dan A3. Dengan matriks A1 dibentuk dari matriks A dengan mengganti entri-entri kolom pertama pada matriks A dengan nilai-nilai pada sebelah kanan sama dengan ( = ) di persamaan diatas yaitu . Kemudian untuk membentuk matriks A2, kita mengganti entri-entri kolom kedua matriks A dengan , begitu juga untuk membentuk matriks A3 yaitu mengganti entri-entri pada kolom ketiga. Sehingga diperoleh A1, A2 dan A3 seperti dibawah ini.
A1 = , A2 = , A3 = .
Untuk menghitung determinan pada matriks A, A1, A2 dan A3 dapat menggunakan menghitung determinan menggunakan kofaktor.
det(A) =
= a11C11 + a12C12 + a13C13
= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13
= a11M11 – a12M12 + a13M13
= 1 – 0 + 2
= 1[4(3)-6(-2)] – 0[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(-2)-4(-1)]
= 24 – 0 – 20
= 44
det(A1) =
= a11C11 + a12C12 + a13C13
= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13
= a11M11 – a12M12 + a13M13
METODE INVERS
Diberikan persamaan
linear sebagai berikut
a11 x1 +
a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1
+ a22 x2 + … + a2n xn
= b2
………………….………………………………
am1 x1 +
am2 x2 + … + amn xn = bn
Penyelesaian persamaan
simultan diatas diatas dapat dilakukan dengan menentukan balikan dari A,
sedemikian sehingga diperoleh :
AX = B
=> A-1AX = A-1B => X = A-1B
Tidak ada komentar:
Posting Komentar