INTEGRAL KALKULUS LANJUTAN - TUGAS 14

INTEGRAL KALKULUS LANJUTAN

Anti Turunan (Integral Tak Tentu) adalah jika F dari suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I yakni, jika FI (x) = f(x) untuk semua x dalam I.  (Jika x suatu titik ujung dari I, FI (x) hanya perlu berupa turunan satu sisi).

Contoh :

Carilah suatu anti turunan dari fungsi f(x) = 4x3 pada (-∞, ∞)

Jawaban :

f(x) = x4 + 2

f1(x) = 4x3

f(x) = x4 + 100

f1(x) = 4x3

Carilah anti turunan dari f(x) = x2 pada (-∞, ∞)

Jawaban :

f(x) = ⅓ x3 + C

f(x) = 3x2 . ⅓

Notasi untuk anti turunan, karena memakai lambang Dx untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar memakai Ax untuk operasi penentuan anti turunan.

Contoh : Ax (x2) = ⅓x3 + C

Ini adalah notasi yang digunankan oleh beberapa penulis, dan memang dipakai dalam buku ini pada terbitan-terbitan sebelumnya. Tetapi, notasi Leibneiz semakin lama semakin populer, karena kita memilih untuk mengikutinya. Ketimbang Ax , Leibneiz memakai lambang integral yaitu ∫….dx

∫ x2 dx = ⅓x3 + C   dan ∫ 4x3 dx = x4 + C

Teorema A ( Aturan Pangkat )

Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

∫ xr dx = xr + 1 + C
r + 1

Bukti :

Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk ∫ f(x) dx = F(x) + C

Dx   xr+1 + C    =   1    ( r + 1 )xr = xr

r+1                r + 1

Kita akan membuat dua komentar mengenai Teorema A. Pertama, dimaksudkan untuk mencakup kasus r = 0, yakni,

∫ 1 dx = x + C

Kedua, karena selang I tidak di rinci, maka kesimpulan sahih untuk sebarang selang pada xr terdefinisi. Secara khusus, kita harus mengecualikan selang yang mengandung titik kiri jika
r < 0. Pengertian yang serupa berlaku dalam hal-hal berikutnya.

Cari anti turunan yang umum dari f(x) = x4/3

Jawaban :

∫ x4/3 dx = x4/3 + C =  x7/3 + C

Teorema B

∫ sin x dx = – cos x + C          ∫ cos x dx = sin x + C

Bukti :

bahwa Dx(-cos x) = sin x dan Dx(sin x) = cos x

INTEGRAL TAK TENTU ADALAH LINIER

Dx adalah suatu operator linier. Ini berarti 2 hal :

Dx kf(x) = kDxf(x)

Dx f(x)+g(x) = Dx f(x) + Dxg(x)

  

Teorema C

(kelinearan dari f … dx) andaikan f dan g mempunyai anti turunan

(integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta.

Maka :

Bukti

Untuk memperlihatkan (i) dan (ii), kita cukup mendiferensialkan ruas kanan dan amati bahwa kita memperoleh integral dari ruas kiri.

= f (x) + g (x)

Sifat (iii) menyusul dari (i) dan (ii).

Contoh :

Cari (a) 3x2 + 4x ) dx

        (b)  u3/2 – 3u + 14 ) du

(c)  1/t2 +

Memakai kelinearan dari

Penyelesaian :

3x2 + 4x ) dx = 3x2 dx + 4x dx

= x2 dx + x dx

= 3 ( x3/3 + C1 ) + 4 ( x2/2 + C2 )

= x3 + 2x2 + ( 3C1 + 4C2 )

= x3 + 2x2 + C

u3/2 – 3u + 14 ) du = 3/2 du +  du +  du    

= u3/2+1    + C1 + 3u2  + C2 + 14u + C3

     +1               1+1

=  u5/2    + 3u2  + 14u + ( C1 +C2 + C3)

                2

=  u5/2 +  u2 + 14u + C

1/t2 +  =  t-2 + t1/2 ) dt = -2 dt + 1/2 dt

= t-1  +  t  3/2 + C   = -1 + 2 t 3/2 + C

-1                          t       3

Aturan pangkat yang diperumum

Jika u = g (x) adalah suatu fungsi yang dapat di diferensialkan dan r suatu bilangan rasional ( r  -1 ) , maka :

Dx [ u r + 1 ] = ur . Dx u

[ r + 1 ]

Atau dalam penulisan fungsional,

Dx ( g [x] r + 1 ) = [g (x)]r . g’(x)

r +1

Teorema D ( aturan pangkat yang diperumum )

Andaikan g suatu fungsi yang dapat di diferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka :

g(x) ]r . g’(x) dx = [ g(x)]r+1 + C

r + 1

Contoh :

Cari (a)  x4 + 3x )30 ( 4x3 + 3 ) dx

        (b)  sin 10 x cos x dx

Penyelesaian :

Andaikan g(x) = x4 + 3x ; maka g’ = 4x3 + 3. Jadi, menurut teorema D.

x4 + 3x )30 ( 4x3 + 3 ) dx =  g(x) ]30 . g’(x) dx = [ g(x) ]31 + C

31

= ( x4 + 3x )31 + C

31

Andaikan g(x) = sin x ; maka g’(x) = cos x. Jadi

sin 10 x cos x dx =  g(x) ]10 . g’(x) dx = [ g(x) ]11 + C

11

= ( sin x )11 + C

11

Sekarang kita dapat melihat mengapa leibniz menggunakan diferensial dx dalam penulisannya  dx. Jika kita tetapkan u = g(x), maka du = g’(x) dx. Karena hal ini simpulan teorema C,

du = ur + 1 + C ,  r  

r + 1

yaitu aturan pangkat yang biasa dengan u sebagai variabel. Jadi, aturan pangkat yang diperumum hanyalah aturan pangkat yang biasa yang ditetapkan pada fungsi. Tetapi dalam menetapkannya, kita harus selalu yakin bahwa kita mempunyai du bersama-sama dengan ur.

Contoh :

Cari (a)  x3 + 6x )5 ( 6x2 + 12 ) dx

x2 + 4 )10 x dx

x2/2 +3 )2 x2 dx

Penyelesaian :

Andaikan u = x3 + 6x , maka du = ( 3x2 + 6 ) Sehingga, ( 6x2 + 12 )dx.

2( 3x2 + 6 ) dx = 2 du, dengan demikian

x3 + 6x )5 ( 6x2 + 12 ) dx = 52 du

                                             = 5 du

                                             = 2 [ u6 + C ]

                                                      6

                                             = u6 + 2C

3

= ( x3 + 6x )6 + k

3

Dua hal harus diperhatikan mengenai penyelesaian kita. Pertama, kenyataan bahwa ( 6x2 + 12 ) dx adalah sebagai ganti du tidak menimbulkan kesukaran faktor 2 dapat dipindahkan ke depan tanda integral karena kelinearan. Kedua, berakhir dengan suatu konstanta sebarang 2C . ini masih tetap suatu konstanta sebarang : kita sebut dengan K.

Andaikan u = x2 + 4 ; maka du = 2x dx. Sehingga,

x2 + 4 )10 x dx =  x2 + 4 )10 . ½  2x dx

                            = ½ 10 du

= ½ ( u11 +   C )

11

Andaikan u = x2/2 + 3 ; maka du = x Metode yang dipaparkan dalam (a) dan (b) gagal karena x2 dx = x(x dx) = x du. Dan x tidak dapat dipindahkan ke depan tanda integral (hal itu hanya dapat dilakukan untuk suatu faktor konstanta). Tetapi dari aljabar yang biasa,

x2/2 + 3 )2 x2 dx =  x4/4 + 3x2 + 9 ) x2 dx

=  x6/4 + 3x4 + 9x2 ) dx

= x7/28 + 3x5/5 + 3x3 + C


CONTOH SOAL DAN JAWABAN