TURUNAN FUNGSI IMPLISIT - TUGAS 7

FUNGSI IMPLISIT

Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yang terdiri dari variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak dapat diselesaikan pada ruas yang berbeda.

Menurunkan fungsi implisit, mengambil jauh berbeda dengan penurunan fungsi variabel tunggal, yaitu dengan menggunakan notasi Leibniz (dy / dx). Berikut ini, hal yang harus diselesaikan di dalam fungsi Implisit yang memiliki dua variabel (x dan y).

fungsi-fungsi Implisit

Persamaan f (x, y) = 0 pada suatu daerah tertentu, tentukan y sebagai fungsi implisit dari x, maka turunan y dapat ditentukan sbb:

Jika mungkin ubalah fungsi implisit, menjadi fungsi eksplisit y = g (x), kemudian dibedakan.

Pikirkan y sebagai fungsi x, kemudian turunkan persamaan tersebut terhadap x dan persamaan yang diperoleh agar dipecahkan untuk y '

Contoh-contoh:

Selesaikan diferensiasi fungsi dimasukkan ke dalam turunan pertama dan ke dua

xy + x - 2y - 1 = 0

xy - x + y - 2 = 0

y 2 = 2x 3

x 2 + 5t 2 = 1

x 3 + x 2 y - 10y 4 = 0

Penyelesaian.

1. Ubah fungsi tersebut ke dalam fungsi eksplisit lalu turunkan

xy + x - 2y - 1 = 0

(x - 2) y = 1 - x

y = y '= =

y '= =

xy - x + y - 2 = 0

xy - y = 2 + x

(x + 1) y = 2 + x

y =

y '=

y '= y' =

3. y 2 = 2x 3 Persamaan tetap dalam fungsi implisit

d / dx (y 2 ) = d / dx (2x 3 )

2 y y '= 6 x 2

y '= 6x 2 / 2y y' = 3x 2 / y. 2thn ¹ 0

4. x 2 + 5y 2 = 1

d / dx (x 2 ) + d / dx (5y 2 ) = d / dx (1)

2x + 10yy '= 0

y '= - 2x / 10y atau y' = - x / 5y. y ¹ 0

5. x 3 + x 2 y - 10y 4 = 0

d / dx (x 3 ) + d / dx (x 2 y) - d / dx (10y 4 ) = d / dx (0)

3x 2 + 2xy + x 2 y '- 40y 3 y' = 0

40y 3 y '- x 2 y' = 3x 2 + 2xy

(40y 3 - x 2 ) y '= 3x 2 + 2xy

y '=

2. Derivativ Tingkat Tinggi Fungsi Implisit

Misalnya y = f (x), fungsi x yang dapat membedakan dan turunnnya disebut turunan pertama, jika hasil turunan ini dikumpulkan lagi hingga ketingkat yang lebih tinggi, maka disebut diferensiasi tingkat tinggi.

Turunan dari orde disuatu titik hanya mungkin ada jika dari turunan lebih rendah dapat didiferensiasikan di titik tersebut.

Misal y = f (x)

Turunan Berlanjut: y '= dy / dx = f' (x)

Turunan antara: y ”= d 2 y / dx 2 = f” (x)

Turunan ketiganya: y '' '= d 3 y / dx 3 = f' '' (x)

Turunan ke-n: y n = d n y / dx n = f n (x) …… ..dst.

Contoh-contoh:

1. Carilah turunan ke 4nya fungsi y = 5x 4 - 4x 3 + 3x 2 - 2x + 1

Jawab: y '= 20x 3 - 12x 2 + 6x - 2

y ”= 60x 2 - 24x + 6

y '' '= 120x - 24

y 4 = 120

2. Carilah Turunan kedua dari fungsi xy + 2x - 4y = 10

Jawab: d / dx (xy) + d / dx (2x) - d / dx (4y) = d / dx (10)

y + xy '+ 2 - 4y' = 0 atau x y '- 4 y' = - 2 - y

(x - 4) y '= - (2 + y) y' =

dari y + xy '+ 2 - 4y' = 0 kita turunkan lagi

d / dx (y) + d / dx (x y ') + d / dx (2) - d / dx (4y') = d / dx (0)

y '+ y' + xy ”- 4y” = 0

2 y '+ (x - 4) y ”= 0

(x - 4) y “= - 2 y '

(x - 4) y ”= - 2 ()

(x - 4) y “=

y ”=

Hitung y 'dan y ”pada x = 1 dan y = -1 untuk fungsi x 3 y + xy 3 = 2

Jawab:

d / dx (x 3 y) + d / dx (xy 3 ) = d / dx (2)

3x 2 y + x 3 y '+ y 3 + 3 xy 2 y' = 0

x 3 y '+ 3 xy 2 y' = - (3 x 2 y + y 3 )

(x 3 + 3 xy 2 ) y '= - (3x 2 y + y 3 )

y '=

untuk x = 1 dan y = -1 kita masukkan harga tersebut ke y 'maka diperoleh y' = 1

untuk y ”dari 3x 2 y + x 3 y '+ y 3 + 3 xy 2 y' = 0 kita turunkan lagi

d / dx (3x 2 y) + d / dx (x 3 y ') + d / dx (y 3 ) + d / dx (3xy 2 y') = 0

6xy + 3 x 2 y '+ 3 x 2 y' + x 3 y ”+ 3 y 2 y '+ 3 y 2 y' + 6 xy y'y '+ 3 xy 2 y” = 0

x 3 y ”+ 3x y 2 y” = - 6 xy - 6 x 2 y '- 6 y 2 y' - 6 xy y ' 2

(x 3 + 3 xy 2 ) y ”= - (6 xy + 6 x 2 y '+ 6 y 2 y' + 6 xy y ' 2 )

y “=

untuk x = 1, y = -1 dan y '= 1, didapat y ”= 0

3. Nilai Extrem.

Suatu nilai ekstrem fungsi akan titik kritis, fungsi naik dan fungsi nilai maksimum dan minimum fungsi.

Menentukan titik kritis;

Jika f (x) dapat diterima dalam selang a £ x £ b dimana f (x) memiliki nilai relatif maka f '(x) = 0 adalah kritis

Selesaikan f '(x0) = 0 untuk harga-harga kritis. Buat garis bilangan y 'untuk harga-harga kritis tentukan tanda setiap ruas dari y'.

4. Fungsi Naik & Fungsi Turun

Naik fungsi x = x 0 . bila turunannya positif, f '(x 0 ) > 0.

Saat fungsi diminta pada x = x 0 , jika turunannya negatif, f '(x 0 ) < 0.

Saat fungsi diberikan diam (stationer) pada x = x 0 , jika turunannya nol, f '(x 0 ) = 0.

5 Harga Maksimum dan Minimum.

Suatu fungsi f (x) bernilai maksimum, jika f '(x 0 ) mengubah tanda dari tanda positif menjadi negatif.

Suatu fugnsi f (x) bernilai minimum, jika f '(x 0 ) mengubah tanda dari tanda negatif ke positif.