INTEGRAL KALKULUS LANJUTAN - TUGAS 14

INTEGRAL KALKULUS LANJUTAN

Anti Turunan (Integral Tak Tentu) adalah jika F dari suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I yakni, jika FI (x) = f(x) untuk semua x dalam I.  (Jika x suatu titik ujung dari I, FI (x) hanya perlu berupa turunan satu sisi).

Contoh :

Carilah suatu anti turunan dari fungsi f(x) = 4x3 pada (-∞, ∞)

Jawaban :

f(x) = x4 + 2

f1(x) = 4x3

f(x) = x4 + 100

f1(x) = 4x3

Carilah anti turunan dari f(x) = x2 pada (-∞, ∞)

Jawaban :

f(x) = ⅓ x3 + C

f(x) = 3x2 . ⅓

Notasi untuk anti turunan, karena memakai lambang Dx untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar memakai Ax untuk operasi penentuan anti turunan.

Contoh : Ax (x2) = ⅓x3 + C

Ini adalah notasi yang digunankan oleh beberapa penulis, dan memang dipakai dalam buku ini pada terbitan-terbitan sebelumnya. Tetapi, notasi Leibneiz semakin lama semakin populer, karena kita memilih untuk mengikutinya. Ketimbang Ax , Leibneiz memakai lambang integral yaitu ∫….dx

∫ x2 dx = ⅓x3 + C   dan ∫ 4x3 dx = x4 + C

Teorema A ( Aturan Pangkat )

Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

∫ xr dx = xr + 1 + C
r + 1

Bukti :

Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk ∫ f(x) dx = F(x) + C

Dx   xr+1 + C    =   1    ( r + 1 )xr = xr

r+1                r + 1

Kita akan membuat dua komentar mengenai Teorema A. Pertama, dimaksudkan untuk mencakup kasus r = 0, yakni,

∫ 1 dx = x + C

Kedua, karena selang I tidak di rinci, maka kesimpulan sahih untuk sebarang selang pada xr terdefinisi. Secara khusus, kita harus mengecualikan selang yang mengandung titik kiri jika
r < 0. Pengertian yang serupa berlaku dalam hal-hal berikutnya.

Cari anti turunan yang umum dari f(x) = x4/3

Jawaban :

∫ x4/3 dx = x4/3 + C =  x7/3 + C

Teorema B

∫ sin x dx = – cos x + C          ∫ cos x dx = sin x + C

Bukti :

bahwa Dx(-cos x) = sin x dan Dx(sin x) = cos x

INTEGRAL TAK TENTU ADALAH LINIER

Dx adalah suatu operator linier. Ini berarti 2 hal :

Dx kf(x) = kDxf(x)

Dx f(x)+g(x) = Dx f(x) + Dxg(x)

  

Teorema C

(kelinearan dari f … dx) andaikan f dan g mempunyai anti turunan

(integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta.

Maka :

Bukti

Untuk memperlihatkan (i) dan (ii), kita cukup mendiferensialkan ruas kanan dan amati bahwa kita memperoleh integral dari ruas kiri.

= f (x) + g (x)

Sifat (iii) menyusul dari (i) dan (ii).

Contoh :

Cari (a) 3x2 + 4x ) dx

        (b)  u3/2 – 3u + 14 ) du

(c)  1/t2 +

Memakai kelinearan dari

Penyelesaian :

3x2 + 4x ) dx = 3x2 dx + 4x dx

= x2 dx + x dx

= 3 ( x3/3 + C1 ) + 4 ( x2/2 + C2 )

= x3 + 2x2 + ( 3C1 + 4C2 )

= x3 + 2x2 + C

u3/2 – 3u + 14 ) du = 3/2 du +  du +  du    

= u3/2+1    + C1 + 3u2  + C2 + 14u + C3

     +1               1+1

=  u5/2    + 3u2  + 14u + ( C1 +C2 + C3)

                2

=  u5/2 +  u2 + 14u + C

1/t2 +  =  t-2 + t1/2 ) dt = -2 dt + 1/2 dt

= t-1  +  t  3/2 + C   = -1 + 2 t 3/2 + C

-1                          t       3

Aturan pangkat yang diperumum

Jika u = g (x) adalah suatu fungsi yang dapat di diferensialkan dan r suatu bilangan rasional ( r  -1 ) , maka :

Dx [ u r + 1 ] = ur . Dx u

[ r + 1 ]

Atau dalam penulisan fungsional,

Dx ( g [x] r + 1 ) = [g (x)]r . g’(x)

r +1

Teorema D ( aturan pangkat yang diperumum )

Andaikan g suatu fungsi yang dapat di diferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka :

g(x) ]r . g’(x) dx = [ g(x)]r+1 + C

r + 1

Contoh :

Cari (a)  x4 + 3x )30 ( 4x3 + 3 ) dx

        (b)  sin 10 x cos x dx

Penyelesaian :

Andaikan g(x) = x4 + 3x ; maka g’ = 4x3 + 3. Jadi, menurut teorema D.

x4 + 3x )30 ( 4x3 + 3 ) dx =  g(x) ]30 . g’(x) dx = [ g(x) ]31 + C

31

= ( x4 + 3x )31 + C

31

Andaikan g(x) = sin x ; maka g’(x) = cos x. Jadi

sin 10 x cos x dx =  g(x) ]10 . g’(x) dx = [ g(x) ]11 + C

11

= ( sin x )11 + C

11

Sekarang kita dapat melihat mengapa leibniz menggunakan diferensial dx dalam penulisannya  dx. Jika kita tetapkan u = g(x), maka du = g’(x) dx. Karena hal ini simpulan teorema C,

du = ur + 1 + C ,  r  

r + 1

yaitu aturan pangkat yang biasa dengan u sebagai variabel. Jadi, aturan pangkat yang diperumum hanyalah aturan pangkat yang biasa yang ditetapkan pada fungsi. Tetapi dalam menetapkannya, kita harus selalu yakin bahwa kita mempunyai du bersama-sama dengan ur.

Contoh :

Cari (a)  x3 + 6x )5 ( 6x2 + 12 ) dx

x2 + 4 )10 x dx

x2/2 +3 )2 x2 dx

Penyelesaian :

Andaikan u = x3 + 6x , maka du = ( 3x2 + 6 ) Sehingga, ( 6x2 + 12 )dx.

2( 3x2 + 6 ) dx = 2 du, dengan demikian

x3 + 6x )5 ( 6x2 + 12 ) dx = 52 du

                                             = 5 du

                                             = 2 [ u6 + C ]

                                                      6

                                             = u6 + 2C

3

= ( x3 + 6x )6 + k

3

Dua hal harus diperhatikan mengenai penyelesaian kita. Pertama, kenyataan bahwa ( 6x2 + 12 ) dx adalah sebagai ganti du tidak menimbulkan kesukaran faktor 2 dapat dipindahkan ke depan tanda integral karena kelinearan. Kedua, berakhir dengan suatu konstanta sebarang 2C . ini masih tetap suatu konstanta sebarang : kita sebut dengan K.

Andaikan u = x2 + 4 ; maka du = 2x dx. Sehingga,

x2 + 4 )10 x dx =  x2 + 4 )10 . ½  2x dx

                            = ½ 10 du

= ½ ( u11 +   C )

11

Andaikan u = x2/2 + 3 ; maka du = x Metode yang dipaparkan dalam (a) dan (b) gagal karena x2 dx = x(x dx) = x du. Dan x tidak dapat dipindahkan ke depan tanda integral (hal itu hanya dapat dilakukan untuk suatu faktor konstanta). Tetapi dari aljabar yang biasa,

x2/2 + 3 )2 x2 dx =  x4/4 + 3x2 + 9 ) x2 dx

=  x6/4 + 3x4 + 9x2 ) dx

= x7/28 + 3x5/5 + 3x3 + C


CONTOH SOAL DAN JAWABAN

MATRIKS LANJUTAN 2 - TUGAS 11

MATRIKS LANJUTAN 2

Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Untuk matriks yang berordo lebih tinggi (matriks 3×3), cara untuk mendapatkan determinannya adalah dengan cara :

- Metode Sarrus

- Minor dan Kofaktor

- Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoint

- Matriks Balikan (Invers)

Contohnya ⇓

INTEGRAL KALKULUS - TUGAS 12

INTEGRAL KALKULUS

Integral merupakan bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan (invers) dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian tersebut ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Pertama, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut sebagai Integral Tak Tentu. Kedua, integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu disebut integral tentu.

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu seperti sebelumnya dijelaskan merupakan invers/kebalikan dari turunan. Turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri. Perhatikanlah contoh turunan-turunan dalam fungsi aljabar berikut ini:

Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah I = 3x2

Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah yI = 3x2

Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah yI = 3x2

Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah yI = 3x2

Seperti yang sudah dipelajari dalam materi turunan, variabel dalam suatu fungsi mengalami penurunan pangkat. Berdasarkan contoh tersebut, diketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama yaitu yI = 3x2. Fungsi dari variabel x3 ataupun fungsi dari variabel x3 yang ditambah atau dikurang suatu bilangan (misal contoh: +8, +17, atau -6) memiliki turunan yang sama. Jika turunan tersebut dintegralkan, seharusnya adalah menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Namun, dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut dapat ditulis:

f(x) = y = x3 + C

Dengan nilai C bisa berapapun. Notasi C ini disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu dari suatu fungsi dinotasikan sebagai:

Rumus Umum Integral

Pengembangan Rumus Integral :

CONTOH SOAL :

1. Diketahui

Jawab :

2. Diketahui

 JAWAB :

Integral Trigonometri

Integral juga mampu dioperasikan pada fungsi trigonometri. Pengoperasian integral trigonometri dilakukan dengan konsep yang sama pada integral aljabar yaitu kebalikan dari penurunan. hingga bisa disimpulkan bahwa:

Menentukan Persamaan Kurva

gradien dan persamaan garis singgung kurva di suatu titik. Jika y = f(x), gradien garis singgung kurva di sembarang titik pada kurva ialah y’ = = f'(x). Oleh sebab itu, jika gradien garis singgungnya sudah diketahui jadi persamaan kurvanya bisa ditentukan dengan cara berikut.

y = ʃ f ‘ (x) dx = f(x) + c

Andai salah satu titik yang melalui kurva sudah diketahui, nilai c bisa diketahui sehingga persamaan kurvanya bisa ditentukan.

Contoh :

Gradien garis singgung kurva di titik (x, y) ialah 2x – 7. Jika kurva itu melalui titik (4, –2), tentukanlah persamaan kurvanya.

Jawab :

f ‘(x) = = 2x – 7

y = f(x) = ʃ (2x – 7) dx = x2 – 7x + c.

Karena kurva melalui titik (4, –2)

maka : f(4) = –2 ↔ 42 – 7(4) + c = –2

–12 + c = –2

c = 10

Maka, persamaan kurva tersebut yaitu y = x2 – 7x + 10.

MATRIKS LANJUTAN 3 - TUGAS 11

MATRIKS LANJUTAN 3

Persamaan linear sering dipakai dalam proses analisis, desain dan sintesis dari sistem perekayasaan. Bentuk yang paling sederhana dari sistem persamaan linear adalah :

a.x = b

dimana a dan b adalah bilangan yang diketahui nilainya, sedangkan x adalah bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya.


Contoh : relasi antara resistansi dan tegangan listrik : I X R =  V

Untuk sistem linear yang mempunyai dua persamaan dan dua variable yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut :

                        a11x1 + a12x2 = b1

                        a21x1 + a22x2 = b2

Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk :

  a 1x  + a2 y = b

Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dalam peubah (variable) c dan peubah y.

Secara umum persamaan linear dalam n peubah  x1, x2,………..xn didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk :

a1 x1 + x2 x2 + ….+ an xn    = b

dengan   a1, a2, a3,……………..an     dan b merupakan konstanta bilangan riil

contoh : manakah yang termasuk persamaan linear dari persamaan persamaan berikut ini :

a.       X + 3y  = 7b.      X + 3 y2 = 7c.       3x + 2y  - z + xz  = 4d.      Y = ½ x  + 3z + 1e.       Y – sin x = 0f.         + 2x2 ++ x3 =1

Jawab:

Persamaan a dan d termasuk persamaan linear

Persamaan b bukan persamaan linear sebab terdapat variable berpangkat 2

Persamaan c bukan persamaan linear  karema melibatkan perkalian peubah

Persamaan e bukan perssaan linear karena terdapat bentuk sinus yang termasuk fungsi trigonometri

Persamaan f bukan persamaan linear karena melibatkan akar peubah

B. sistem Persamaan Linear

Sebuah himpunan berhingga dari persaan persamaan linear adalah peubah x1, x2, x3……..xndinamakan system persamaan linear atau system linear

Contoh :


4x1 – x2 + 3x3 =-1

3x1 + x2 + 9x3 = -4

X1 2x2 -3x3 =3


 X – y =2

X + 2y = 5


Pemecahan suatu system persamaan linear adalah ukuran dari n bilangan s1, s2,…..sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubtitusikan terhadap persamaan – persamaan dalam system linear tersebut. Himpunan semua pemecahan system persamaan linear disebut himpunan pemecahan sistem persamaan linear.


Contoh: tentukanlah solusi system persamaan linear berikut:

X -2y = 8
3x +y = 3

x1 +2x2 –x3 =3
2x1 –x2 +3x3 = -4
3x1 +x2 + x3 = 1


Jawab:

a.       X -2y = 8

3x +y = 3

Untuk memecahkan SPL  tersebut kita gunakan cara eliminasi maupun cara subtitusi. Berikut ini akan digunakan cara eliminasi :

METODE CRAMER

kita punya persamaan x1 + 2x2 = 6 dan -3x1 +4x2 = 4. Biasanya kita menggunakan Metode Eliminasi atau Metode Substitusi. Tapi saya akan mencoba dengan cara yang sedikit berbeda yaitu dengan memanfaatkan determinan matriks, metode ini dinamakann Aturan Cramer. Metode ini untuk menyelesaikan persamaan seperti diatas atau lebih umum mencari solusi dari n persamaan dan n bilangan tak diketahui. Rumus yang akan digunakan pada Aturan Cramer ini dijamin pada teorema dibawah ini.

Teorema :

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A)  0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah

x1 = , x2 = , …, xn =

dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.

B =

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Carilah solusi dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan cramer.

x1 + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 – 2x2 + 3x3 = 8

ubah terlebih dahulu kedalam bentuk matriks

A =

Karena bilangan takdiketahui atau solusinya ada 3, berarti kita bentuk matriks A1, A2 dan A3. Dengan matriks A1 dibentuk dari matriks A dengan mengganti entri-entri kolom pertama pada matriks A dengan nilai-nilai pada sebelah kanan sama dengan ( = ) di persamaan diatas yaitu . Kemudian untuk membentuk matriks A2, kita mengganti entri-entri kolom kedua matriks A dengan , begitu juga untuk membentuk matriks A3 yaitu mengganti entri-entri pada kolom ketiga. Sehingga diperoleh A1, A2 dan A3 seperti dibawah ini.

A1 = , A2 = , A3 = .

Untuk menghitung determinan pada matriks A, A1, A2 dan A3 dapat menggunakan menghitung determinan menggunakan kofaktor.

det(A) =

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 1 – 0 + 2

= 1[4(3)-6(-2)] – 0[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(-2)-4(-1)]

= 24 – 0 – 20

= 44

det(A1) =

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

METODE INVERS

Diberikan persamaan linear sebagai berikut

a11 x1 +  a12 x2 + … + a1n xn    =  b1

a21 x1  +  a22 x2 + …  + a2n xn    =  b2

………………….………………………………

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn  =  bn

Penyelesaian persamaan simultan diatas diatas dapat dilakukan dengan menentukan balikan dari A, sedemikian sehingga diperoleh :

  AX = B  =>  A-1AX = A-1B  =>   X = A-1B

MATRIKS LANJUTAN - TUGAS 10

MATRIKS LANJUTAN 1 yaitu tentang Transformasi elementer pada Baris.

Transformasi Elementer pada Baris
Terhadap elemen-elemen suatu matriks dapat dilakukan transformasi atau penukaran atau perpindahan menurut baris matriks.

Kaidah-kaidah transformasi elementer : 
Apabila ada matriks A = (aij), maka transformasi elemen-elemen pada baris ke-i dengan baris ke-j ditulis Hij (A), yang merupakan penukaran semua elemen baris ke-i dengan baris ke-j atau baris ke-j dijadikan baris ke-i.

Contoh : 

setelah saya selesai dengan pembahasan tentangn transformasi elementer pada baris sekarang waktunya kita masuk ke pembahasan tentang transformasi elementer pada kolom.
 
Transformasi Elementer pada Kolom
Terhadap elemen-elemen suatu matriks dapat dilakukan transformasi atau penukaran atau perpindahan menurut kolom matriks.

Transformasi elemen-elemen pada kolom ke-i dengan kolom ke-j, ditulis Kij (A), adalah penukaran semua elemen kolom ke-i dengan kolom ke-j atau kolom ke-i dijadikan kolom ke-j.

 baiklah sekarang kita memasuki pembahasan tentang Matriks Ekivalen.

Matriks Ekivalen
Dua matriks A dan B disebut ekivalen, ditulis A ∼ B, jika B diperoleh dari A dengan melakukan transformasi elementer, dan sebaliknya A diperoleh dari B dengan melakukan invers transformasi elementer. 

Contoh :

dan kita langsung lanjut ke pembahasan berikutnya yaitu tentang Rank Matriks. 


Rank Matriks
Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A. Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A. Bila rank baris = rank kolom maka rank matriks A yaitu r (A) adalah harga atau nilai dari rank baris/ rank kolom matriks A tersebut.
Dengan kata lain rank dari matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/kolom yang bebas linear. Untuk mencari rank matriks dapat dilakukan dengan transformasi elementer, yaitu dengan cara sebanyak mungkin mengubah baris kolom menjadi vektor nol.

Contoh :

  
Petunjuk menentukan rank matriks :
i. Bila matriks hanya mempunyai dua baris, maka cukup diperiksa apakah elemen-elemen pada baris ke-1 dan baris ke-2 saling berkelipatan. 

Contoh : 

  ii. Secara umum :

1. Pilih baris / kolom yang bukan vektor nol, dan pilih elemen pada baris/kolom tersebut yang tidak sama dengan nol sebagai elemen pivot. Pada contoh transformasi baris a13 =1 (≠ 0), kemudian pilih baris yang mengandung elemen 1 atau –1 sebagai elemen pivot.
2. Jadikan nol semua elemen yang sekolom dengan elemen pivot melalui transformasi baris oleh elemen pivot tersebut. Pada contoh diatas a23, a33 dan a43 dijadikan nol.
3. Selanjutnya tidak perlu lagi memeperhatikan baris pivot diatas. Perhatikan baris-baris yang tinggal. Pada contoh diatas adalah baris. Kerjakan langkah (1) terhadap mereka. Pada contoh diatas pilih baris 4 dengan elemen pivot a41=1. Seterusnya kembali lagi pada langkah a dan b.
4. Proses ini akan berakhir bila langkah a tidak dapat dikerjakan lagi, yaitu bila telah menjadi baris nol. 

okeeey lanjut kita akan membahas lebih dalam tentang DETERMINAN, kita akan bahas lebih dalam lagi mulai dari pengertian determian, sifat-sifat determian dan ekspansi laplace.


Determinan
Pengertian determinan :
Determinan merupakan sebuah bilangan tunggal atau scalar, dan hanya dijumpai dalam matriks bujur sangkar. Jika determinan suatu matriks bujur sangkar adalah nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks singular. Dan jika determinan matriks tersebut bukan nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks non singular. Matriks nonsingular, secara linear tidak tergantung (saling independent)

Determinan Matriks Ordo 2 x 2
Jika diberikan matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk di bawah. 

Sifat-sifat Determinan :
Sifat-sifat determinan ada enam, yaitu :
 a. Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det (A) = det (A^t).

Contoh :

 b. Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol dari suatu baris/kolom dari baris/kolom lainnya tidak akan mempunyai pengaruh pada determinan.  

 c. Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari suatu matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga absolut dari determinan.

Contoh :

  d. Determinan dari suatu matriks segitiga (triangular matriks), yaitu matriks dengan elemen-elemen nol diatas atau di bawah diagonal utama, adalah sama dengan hasil kali dari elemenelemen dari diagonal utama.

Contoh :

  e. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, determinan adalah nol.

Contoh :

 
 
f. Jika dua baris atau kolom identik, atau proporsional, yaitu secara linear tergantung, maka determinan adalah nol.

Contoh :

Ekspansi Laplace
Metode atau ekspansi Laplace adalah suatu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor.
Determinan dari suatu matriks = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Ekspansi Laplace dapat ditulis dengan cara :

|A| = a11|C11|+a12|C12|+a13|C13| menggunakan baris 1
 
Dengan pola yang sama dapat juga dihitung dengan menggunakan baris ke dua dan ketiga, dengan memberikan hasil determinan yang sama.