MATRIKS LANJUTAN - TUGAS 10

MATRIKS LANJUTAN 1 yaitu tentang Transformasi elementer pada Baris.

Transformasi Elementer pada Baris
Terhadap elemen-elemen suatu matriks dapat dilakukan transformasi atau penukaran atau perpindahan menurut baris matriks.

Kaidah-kaidah transformasi elementer : 
Apabila ada matriks A = (aij), maka transformasi elemen-elemen pada baris ke-i dengan baris ke-j ditulis Hij (A), yang merupakan penukaran semua elemen baris ke-i dengan baris ke-j atau baris ke-j dijadikan baris ke-i.

Contoh : 

setelah saya selesai dengan pembahasan tentangn transformasi elementer pada baris sekarang waktunya kita masuk ke pembahasan tentang transformasi elementer pada kolom.
 
Transformasi Elementer pada Kolom
Terhadap elemen-elemen suatu matriks dapat dilakukan transformasi atau penukaran atau perpindahan menurut kolom matriks.

Transformasi elemen-elemen pada kolom ke-i dengan kolom ke-j, ditulis Kij (A), adalah penukaran semua elemen kolom ke-i dengan kolom ke-j atau kolom ke-i dijadikan kolom ke-j.

 baiklah sekarang kita memasuki pembahasan tentang Matriks Ekivalen.

Matriks Ekivalen
Dua matriks A dan B disebut ekivalen, ditulis A ∼ B, jika B diperoleh dari A dengan melakukan transformasi elementer, dan sebaliknya A diperoleh dari B dengan melakukan invers transformasi elementer. 

Contoh :

dan kita langsung lanjut ke pembahasan berikutnya yaitu tentang Rank Matriks. 


Rank Matriks
Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A. Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A. Bila rank baris = rank kolom maka rank matriks A yaitu r (A) adalah harga atau nilai dari rank baris/ rank kolom matriks A tersebut.
Dengan kata lain rank dari matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/kolom yang bebas linear. Untuk mencari rank matriks dapat dilakukan dengan transformasi elementer, yaitu dengan cara sebanyak mungkin mengubah baris kolom menjadi vektor nol.

Contoh :

  
Petunjuk menentukan rank matriks :
i. Bila matriks hanya mempunyai dua baris, maka cukup diperiksa apakah elemen-elemen pada baris ke-1 dan baris ke-2 saling berkelipatan. 

Contoh : 

  ii. Secara umum :

1. Pilih baris / kolom yang bukan vektor nol, dan pilih elemen pada baris/kolom tersebut yang tidak sama dengan nol sebagai elemen pivot. Pada contoh transformasi baris a13 =1 (≠ 0), kemudian pilih baris yang mengandung elemen 1 atau –1 sebagai elemen pivot.
2. Jadikan nol semua elemen yang sekolom dengan elemen pivot melalui transformasi baris oleh elemen pivot tersebut. Pada contoh diatas a23, a33 dan a43 dijadikan nol.
3. Selanjutnya tidak perlu lagi memeperhatikan baris pivot diatas. Perhatikan baris-baris yang tinggal. Pada contoh diatas adalah baris. Kerjakan langkah (1) terhadap mereka. Pada contoh diatas pilih baris 4 dengan elemen pivot a41=1. Seterusnya kembali lagi pada langkah a dan b.
4. Proses ini akan berakhir bila langkah a tidak dapat dikerjakan lagi, yaitu bila telah menjadi baris nol. 

okeeey lanjut kita akan membahas lebih dalam tentang DETERMINAN, kita akan bahas lebih dalam lagi mulai dari pengertian determian, sifat-sifat determian dan ekspansi laplace.


Determinan
Pengertian determinan :
Determinan merupakan sebuah bilangan tunggal atau scalar, dan hanya dijumpai dalam matriks bujur sangkar. Jika determinan suatu matriks bujur sangkar adalah nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks singular. Dan jika determinan matriks tersebut bukan nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks non singular. Matriks nonsingular, secara linear tidak tergantung (saling independent)

Determinan Matriks Ordo 2 x 2
Jika diberikan matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk di bawah. 

Sifat-sifat Determinan :
Sifat-sifat determinan ada enam, yaitu :
 a. Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det (A) = det (A^t).

Contoh :

 b. Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol dari suatu baris/kolom dari baris/kolom lainnya tidak akan mempunyai pengaruh pada determinan.  

 c. Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari suatu matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga absolut dari determinan.

Contoh :

  d. Determinan dari suatu matriks segitiga (triangular matriks), yaitu matriks dengan elemen-elemen nol diatas atau di bawah diagonal utama, adalah sama dengan hasil kali dari elemenelemen dari diagonal utama.

Contoh :

  e. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, determinan adalah nol.

Contoh :

 
 
f. Jika dua baris atau kolom identik, atau proporsional, yaitu secara linear tergantung, maka determinan adalah nol.

Contoh :

Ekspansi Laplace
Metode atau ekspansi Laplace adalah suatu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor.
Determinan dari suatu matriks = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Ekspansi Laplace dapat ditulis dengan cara :

|A| = a11|C11|+a12|C12|+a13|C13| menggunakan baris 1
 
Dengan pola yang sama dapat juga dihitung dengan menggunakan baris ke dua dan ketiga, dengan memberikan hasil determinan yang sama.

MATRIKS - TUGAS 9

Matriks adalah susunan angka-angka dalam bentuk bujur sangkar atau persegi panjang yang diapit oleh tanda kurung. Semua bilangan yang ada dalam matriks adalah bilangan real. Matriks dinotasikan dengan huruf kapital dan dicetak tebal.


Matriks A di atas memiliki n baris dan p kolom. Matriks A biasa disebut juga dengan matriks yang berukuran n×p. Notasi aij dalam matriks menunjukkan elemen matriks baris ke-i dan kolom ke-j.
Di bawah ini adalah beberapa buah contoh matriks.
Matriks B merupakan matriks berukuran 3×4, matriks C berukuran 3×3 dan matriks D berukuran 4×3.
Vektor adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom saja atau hanya memiliki satu baris saja. Vektor dinotasikan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Penulisan vektor adalah sebagai berikut.

Vektor tersebut dapat ditulis juga dalam bentuk transpose vektor yaitu

atau bisa juga ditulis dalam bentuk

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya bisa dilakukan jika ordonya sama, misalnya matriks 2 × 2 dikurangkan dengan matriks 2 × 2 lainnya. Elemen yang dijumlahkan atau dikurangkan harus seletak, artinya posisi atau letaknya sama. Perhatikan contoh berikut.

Berdasarkan contoh di atas, terlihat bahwa penjumlahan atau pengurangan matriks tidak mengakibatkan perubahan ordo.
Semua matriks bisa dikalikan dengan konstanta atau bilangan berapapun. Jika dikalikan dengan suatu konstanta atau bilangan, semua elemen di dalam matriks tersebut harus dikalikan satu per satu dengan konstanta yang dimaksud. Contohnya sebagai berikut.

Berdasarkan hasil di atas, ternyata perkalian antara konstanta dan matriks tidak akan mengubah ordo matriks tersebut.
Jika dibandingkan operasi matriks sebelumnya, perkalian antara matriks dan matriks ini terbilang lebih rumit. Untuk mengalikan antara matriks dan matriks, harus mengalikan seluruh elemen tiap baris ke-pdengan kolom ke-­p, lalu hasilnya dijumlahkan pada baris yang sama. Misalnya diketahui perkalian matriks sebagai berikut.

Contoh mengoperasikan perkalian antara dua matriks di atas adalah sebagai berikut.

Pembahasan:

Hal yang harus diingat dari perkalian matriks adalah sifat perkalian matriks tidak berlaku bolak-balik atau  AB ≠ BA.
Contoh Soal 2

Pembahasan:
Sebelum menyelesaikan soal di atas, lalu jabarkan kembali persamaannya, yaitu sebagai berikut.

Selanjutnya, tentukan nilai xdan yberdasarkan nilai elemen seletak.

Diperoleh nilai x= 2 dan y= 4. Dengan demikian, x+ 2xy+ y= 2 + 2(2)(4) + 4 = 22.
Jadi, nilai x+ 2xy+ y= 22.
Contoh soal 3
Tentukan nilai 2a2+ b– c  yang memenuhi persamaan matriks berikut.

Pembahasan:
Untuk menentukan nilai 2a2+ b– c, lalu harus mengalikan matriks-matriks di sisi kiri terlebih dahulu.

Dari persamaan di atas, diperoleh:
Baris ke-2, kolom ke-2

Baris ke-1, kolom ke-2

Baris ke-1, kolom ke-1

Dengan demikian, nilai 2a2+ b– c= 2(3)2+ (-3) – 1 = 14.
Jadi, nilai 2a2+ b– c= 14

1. Penjumlahan dan pengurangan matriks

2. Perkalian angka dengan matriks

3. Perkalian antara matriks dan matriks

APLIKASI TURUNAN - TUGAS 8

       Aplikasi turunan merupakan suatu konsep matematika pengukuran atas bagaimana suatu fungsi berubah seiring dengan perubahan nilai input. Atau secara umum turunan menunjukkan tentang bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lain. Proses dalam menemukan turunan disebut dengan diferensiasi.
Bentuk turunan tersebut diantaranya yaitu turunan pertama, turunan kedua dan turunan fungsi trigonometri.



Turunan pertama


Semisal y adalah fungsi dari x atau dapat ditulis juga bahwa y = f (x). Sehingga turunan dari y terhadap x dinotasikan dengan konsep rumus berikut ini :




Dengan memanfaatkan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus turunan yang meliputi :
Jika diketahui y = Cxn dimana C dan juga n merupakan suatu bentuk konstanta real, maka dy : dx = Cnxn – 1
Jika diketahui y = C dan C merupakan elemen R maka dy : dx = 0
Untuk y = f (x) + g (x) sehingga maka dy / dx = f aksen sehingga x + g aksen sehingga x atau dalam rumus = f’(x) + g’ (x)
Untuk y = f (x) . g (x) sehingga maka dy / dx = f aksen sehingga x . g sehingga x + g aksen sehingga x . f sehingga x atau dalam rumus f’ (x) . g (x) + g’ (x) . f (x)


Turunan kedua


Turunan kedua dari y = f (x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut ini :




Turunan kedua dari aplikasi turunan merupakan bentuk turunan yang didapatkan dengan menurunkan kembali turunan yang pertama. Anda dapat memperhatikan contoh di bawah ini :








Turunan kedua ini juga bisa digunakan antaranya untuk keperluan :
Penentuan gradient garis singgung suatu kurva
Penentuan apakah suatu interval akan naik atau turun
Penentuan nilai maksimum dan nilai minimum suatu kurva










Turunan fungsi trigonometri



Mengenai bagaimana rumus untuk menentukan turunan fungsi trigonometri, Anda bisa simak rumus di bawah ini :