TURUNAN FUNGSI IMPLISIT - TUGAS 7

FUNGSI IMPLISIT

Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yang terdiri dari variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak dapat diselesaikan pada ruas yang berbeda.

Menurunkan fungsi implisit, mengambil jauh berbeda dengan penurunan fungsi variabel tunggal, yaitu dengan menggunakan notasi Leibniz (dy / dx). Berikut ini, hal yang harus diselesaikan di dalam fungsi Implisit yang memiliki dua variabel (x dan y).

fungsi-fungsi Implisit

Persamaan f (x, y) = 0 pada suatu daerah tertentu, tentukan y sebagai fungsi implisit dari x, maka turunan y dapat ditentukan sbb:

Jika mungkin ubalah fungsi implisit, menjadi fungsi eksplisit y = g (x), kemudian dibedakan.

Pikirkan y sebagai fungsi x, kemudian turunkan persamaan tersebut terhadap x dan persamaan yang diperoleh agar dipecahkan untuk y '

Contoh-contoh:

Selesaikan diferensiasi fungsi dimasukkan ke dalam turunan pertama dan ke dua

xy + x - 2y - 1 = 0

xy - x + y - 2 = 0

y 2 = 2x 3

x 2 + 5t 2 = 1

x 3 + x 2 y - 10y 4 = 0

Penyelesaian.

1. Ubah fungsi tersebut ke dalam fungsi eksplisit lalu turunkan

xy + x - 2y - 1 = 0

(x - 2) y = 1 - x

y = y '= =

y '= =

xy - x + y - 2 = 0

xy - y = 2 + x

(x + 1) y = 2 + x

y =

y '=

y '= y' =

3. y 2 = 2x 3 Persamaan tetap dalam fungsi implisit

d / dx (y 2 ) = d / dx (2x 3 )

2 y y '= 6 x 2

y '= 6x 2 / 2y y' = 3x 2 / y. 2thn ¹ 0

4. x 2 + 5y 2 = 1

d / dx (x 2 ) + d / dx (5y 2 ) = d / dx (1)

2x + 10yy '= 0

y '= - 2x / 10y atau y' = - x / 5y. y ¹ 0

5. x 3 + x 2 y - 10y 4 = 0

d / dx (x 3 ) + d / dx (x 2 y) - d / dx (10y 4 ) = d / dx (0)

3x 2 + 2xy + x 2 y '- 40y 3 y' = 0

40y 3 y '- x 2 y' = 3x 2 + 2xy

(40y 3 - x 2 ) y '= 3x 2 + 2xy

y '=

2. Derivativ Tingkat Tinggi Fungsi Implisit

Misalnya y = f (x), fungsi x yang dapat membedakan dan turunnnya disebut turunan pertama, jika hasil turunan ini dikumpulkan lagi hingga ketingkat yang lebih tinggi, maka disebut diferensiasi tingkat tinggi.

Turunan dari orde disuatu titik hanya mungkin ada jika dari turunan lebih rendah dapat didiferensiasikan di titik tersebut.

Misal y = f (x)

Turunan Berlanjut: y '= dy / dx = f' (x)

Turunan antara: y ”= d 2 y / dx 2 = f” (x)

Turunan ketiganya: y '' '= d 3 y / dx 3 = f' '' (x)

Turunan ke-n: y n = d n y / dx n = f n (x) …… ..dst.

Contoh-contoh:

1. Carilah turunan ke 4nya fungsi y = 5x 4 - 4x 3 + 3x 2 - 2x + 1

Jawab: y '= 20x 3 - 12x 2 + 6x - 2

y ”= 60x 2 - 24x + 6

y '' '= 120x - 24

y 4 = 120

2. Carilah Turunan kedua dari fungsi xy + 2x - 4y = 10

Jawab: d / dx (xy) + d / dx (2x) - d / dx (4y) = d / dx (10)

y + xy '+ 2 - 4y' = 0 atau x y '- 4 y' = - 2 - y

(x - 4) y '= - (2 + y) y' =

dari y + xy '+ 2 - 4y' = 0 kita turunkan lagi

d / dx (y) + d / dx (x y ') + d / dx (2) - d / dx (4y') = d / dx (0)

y '+ y' + xy ”- 4y” = 0

2 y '+ (x - 4) y ”= 0

(x - 4) y “= - 2 y '

(x - 4) y ”= - 2 ()

(x - 4) y “=

y ”=

Hitung y 'dan y ”pada x = 1 dan y = -1 untuk fungsi x 3 y + xy 3 = 2

Jawab:

d / dx (x 3 y) + d / dx (xy 3 ) = d / dx (2)

3x 2 y + x 3 y '+ y 3 + 3 xy 2 y' = 0

x 3 y '+ 3 xy 2 y' = - (3 x 2 y + y 3 )

(x 3 + 3 xy 2 ) y '= - (3x 2 y + y 3 )

y '=

untuk x = 1 dan y = -1 kita masukkan harga tersebut ke y 'maka diperoleh y' = 1

untuk y ”dari 3x 2 y + x 3 y '+ y 3 + 3 xy 2 y' = 0 kita turunkan lagi

d / dx (3x 2 y) + d / dx (x 3 y ') + d / dx (y 3 ) + d / dx (3xy 2 y') = 0

6xy + 3 x 2 y '+ 3 x 2 y' + x 3 y ”+ 3 y 2 y '+ 3 y 2 y' + 6 xy y'y '+ 3 xy 2 y” = 0

x 3 y ”+ 3x y 2 y” = - 6 xy - 6 x 2 y '- 6 y 2 y' - 6 xy y ' 2

(x 3 + 3 xy 2 ) y ”= - (6 xy + 6 x 2 y '+ 6 y 2 y' + 6 xy y ' 2 )

y “=

untuk x = 1, y = -1 dan y '= 1, didapat y ”= 0

3. Nilai Extrem.

Suatu nilai ekstrem fungsi akan titik kritis, fungsi naik dan fungsi nilai maksimum dan minimum fungsi.

Menentukan titik kritis;

Jika f (x) dapat diterima dalam selang a £ x £ b dimana f (x) memiliki nilai relatif maka f '(x) = 0 adalah kritis

Selesaikan f '(x0) = 0 untuk harga-harga kritis. Buat garis bilangan y 'untuk harga-harga kritis tentukan tanda setiap ruas dari y'.

4. Fungsi Naik & Fungsi Turun

Naik fungsi x = x 0 . bila turunannya positif, f '(x 0 ) > 0.

Saat fungsi diminta pada x = x 0 , jika turunannya negatif, f '(x 0 ) < 0.

Saat fungsi diberikan diam (stationer) pada x = x 0 , jika turunannya nol, f '(x 0 ) = 0.

5 Harga Maksimum dan Minimum.

Suatu fungsi f (x) bernilai maksimum, jika f '(x 0 ) mengubah tanda dari tanda positif menjadi negatif.

Suatu fugnsi f (x) bernilai minimum, jika f '(x 0 ) mengubah tanda dari tanda negatif ke positif.

TURUNAN FUNGSI LEBIH DARI 1 VARIABEL - TUGAS 6

TURUNAN FUNGSI LEBIH DARI 1 VARIABEL

1. Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebih

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena
x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:
1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.

2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah.

3. x dan y berubah sekaligus.

Misal z=F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval

Contoh:

Tentukan turunan parsial pertama dari

a. z=√x²+y²

Jawab:

b. z= sin(x+y)

Jawab:

Dapat juga dilakukan dengan menggunakan metode yang lebih sederhana, misalkan z=F(x,y) maka untuk menentukan z/x sama artinya dengan menurunkan variable y dan x dianggap konstan lalu diturunkan.

Contoh:

1. Diketahu F(x,y,z)=xyz+ 2 tan (y/x) carilah turunan parsial pertamanya.

Jawab:

2. Differnsial Total

Misal z=F(z,y) dan fungsi tersebut biaa diturunkan pada variable x dan y, dapat dinotasikan dengan:

Jumlah differnsialnya:

Contoh:

Dengan menggunakan differnsial total hitunglah

a. √(2,01)²+(1,99)²+(0,97)²

Jawab:

W=√x²+y²+z², x=2, y=2, dan z=1

W=√2²+2²+1²=3

√(2,01)²+(1,99)²+(0,96)² maka:

x+∆x=2,01 jadi ∆x=0,1

x+∆y=1,99 jadi ∆y=-0,1

x+∆z=0,97 jadi ∆z=-0,3

3. Turunan Total

Misal z=F(z,y) dan F dapat di turunkan. x=x(t) dan y=y(t), dapat diturunkan dengan satu peubah, mka z=F(x,y) adalah fungsi satu peubah, sehingga:

Karena x=x(t) dan y=y(t) dapat diturunkan maka dapat di tentukan dy/dx dan dx/dt sehingga

Contoh:

Suatu tempat berbenruk silinder dengan jari-jari alas 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi silinder bertambah 0,5cm/det dan jari-jarinya berkurang 1cm/der. Hitunglah perubahan yang terjadu terhadap volume dan luas permukaan silinder.

Jawab:

Misal jari-jari tabung r,tunggu h dan volume l, maka I=πr²h I=I(r,h)

I=I(r,h) dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh

Terimakasih sudah membaca.