TURUNAN FUNGSI 1 VARIABEL - TUGAS 5

 Turunan dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi

Jika kita mengatakan bahwa “turunan dari  adalah “, maka pernyataan itu adalah BENAR, karena . Tapi, akan SALAH jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa “diferensial dari  adalah “, maka pernyataan itu adalah SALAH. Kalau ingin betulnya, harus seperti ini: “diferensial dari  adalah  dikalikan dengan diferensial x” atau dapat ditulis begini: 

Turunan fungsi  yang dinotasikan sebagai , merupakan sebuah fungsi yang nilainya pada sebarang nilai x:

Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Jika u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, dan u'(x) dan v'(x) adalah turunannya, maka kita dapat menurunkan rumus turunan hasil kali, hasil bagi dua fungsi dan pemangkatan fungsi, yakni sebagai berikut:

TINGKAT PERUBAHAN (RATE OF CHANGE)
Fungsi Semula: Y=(X).Jika X berubah dari X ke X’ makaperubahan X ditulis : ΔX= X’–XMaka : X’ = X + ΔXFungsi Yang baru adalah:Y = f (X’)……….Y = f (X+ΔX)
Lanjutan: ΔY/ ΔX = [f (X’) – f(X)]/ ΔX

ΔY/ ΔX = [f (X + ΔX ) – f(X)]/ ΔXΔY/ ΔX : Perubahan dalam Y sebagaiakibat perubahan perunit X.Contoh :Diketahui : Y = f(X)…..Y = 3X2 – 4.f (X) ………...Y = 3X2 – 4.f (X+ΔX)…...Y = 3 (X+ΔX)2 – 4
Lanjutan: ΔY = f(X+ ΔX) – f (X) ΔY = [3(X+ ΔX)2 – 4] – [3X2-4]

Jika diketahui: X = 3 dan ΔX = 4,Maka: ΔY/ΔX=6(3)+3(4)….ΔY/ΔX = 30.Tingkat perubahan Y = 30 sebagai akibatPerubahan perunit X.

Lanjutan: Pembuktian: Y = 3X2 – 4; X=3 …….Y = 3(3)2-4 = 23.

Jika: ΔX = 4 …X’=3+4=7…Y’=3(7)2-4 =143.ΔY= Y’-Y= …. ΔY= 120.Tingkat Perubahan:ΔY/ ΔX =120/4……ΔY/ ΔX = 30Tingkat perubahan tidak sama denganDerivatif (turunan pertama).

(2). TURUNAN (DERIVATIF) FUNGSI Y=F(X)…..Y= 3X2 – 4

Derivatif adalah tingkat perubahan Y (ΔY)bila perubahan x (ΔX) sangat kecilmendekati Nol.Sesuai dengan Contoh di atas:ΔY/ ΔX = 6X+3 ΔX.Jika ΔX 0 maka nilai : ΔY/ ΔX mendekatinilai 6X.Limit ΔY/ΔX = dY/dX= Limit 6X+3ΔX= 6X.ΔX ΔX 0Sehingga didapat: dY/dX = 6X.
(3).DERIVATIF DAN KEMIRINGAN FUNGSI

Turunan Pertama suatu fungsi pada suatu titikadalah kemiringan (slope) dari fungsi tersebutpada titik itu.
(a). TURUNAN PERTAMA FUNGSI LINIER:YY = mX + nm : Slopem = (y2-y1)/(x2-x1)m = ΔY/ΔX= dy/dx(X2, y2)ΔY(x1,y1)ΔX X

Contoh: Y = 2X + 2 …m = 2….dY/dX= Y’= 2. X=0…..Y’=2 X=1…..Y’=2

X=2….. Y’=2; dst.Turunan pertama (dY/dX=Y’) dari setiap fungsi linier = m, dan konstan untuk setiap nilai X.

(b). TURUNAN PERTAMA UNTUK FUNGSI NON-LINIER

Y(X2,y2)L2Y=f(X)(X1,y1)Lo X

Lanjutan:

Apabila titik (X2,Y2) bergerak mendekati titik (X1,Y1), maka kemiringan garis L1 semakin kecil mendekati nilai batas yang konstan.

Sehingga kemiringan f(X) pada titik (X1,Y1) merupakan Derivatif fungsi tersebut pada titik (X1,Y1):Limit ΔY/ΔX = kemiringan Lo = Y’= dY/dXΔX 0Proses untuk mendapatkan Turunan Pertama suatu Fungsi disebut Diferensiasi Fungsi.

Contoh: Y = 2,5 X – 0,75 X2. dY/dX = 2,5 - 1,5 X
(Persamaan Turunan Pertama).X= 0……dY/dX= 2,5X=1…….dY/dX=1X=2…….dY/dX=-0,5.Untuk fungsi Non-linier, maka kemiringanf(X) untuk setiap nilai X berbeda.

(4). DIFERENSIASI FUNGSI
Proses untuk mendapatkan Turunan Pertama suatu Fungsi disebut Diferensiasi Fungsi.Langkah mendapatkan turunan pertamafungsi :(a). Secara Langsung (MenggunakanSifat–sifat Limit);(b). Menggunakan Aturan-aturanDiferensiasi.

(a). Diferensiasi Fungsi dengan Menggunakan Sifat-sifat limit.
Contoh:Y = 4X+1 ……dY/dX=…..?dY/dX= Limit [4(X+ΔX)+1- (4X+1)]/ ΔXΔX 0dY/dX = Limit [(4X+4 ΔX)+1-(4X+1)]/ ΔXΔX 0dY/dX = Limit (4ΔX)/ ΔX….dY/dX = 4

(b). Aturan Diferensiasi Fungsi
Y = C…...dY/dX = Y’ = 0Contoh: Y = 6 …..dY/dX = 0.Aturan (2):Y = Xn …...dY/dX = n.Xn-1Contoh: Y = X3/2…..dY/dX = 3/2 X1/2

Lanjutan: Aturan (3): Y = c.Xn ….dY/dX = c.n.Xn-1 Contoh:
Y = -2X4/3….dY/dX= -8/3 X1/3.Aturan (4):Y = U + V ……dY/dX= U’ + V’Y = 3X2 + 4X….dY/dX= 6X + 4.Y = 2X + X-1/2…dY/dX= 2 - 1/2X-3/2.

Lanjutan: Aturan (5): Y = U.V…….dY/dX= U’V + UV’
Contoh: Y = (X3+4)(X+3)U=X3+4…..U’ = 3X2V= X+3……V’ = 1dY/dX = 3X2(X+3) + (X3+4)(1)dY/dX= 4X3 + 9X2 + 4Contoh: Y=(2X+3)(X2+1)……dY/dX=…?

Lanjutan: Aturan (6): Y = U/ V……dY/dX = [ U’V - UV’ ]/ V2
Contoh: Y = 4/ X6U=4….U’=0; V=X6….V’= 6X5dY/dX = - 24/ X7Contoh: Y = (X3+16)/X2….dY/dX=….?

Lanjutan: Aturan (7): Y = Un ……..dY/dX= n.Un-1.(U’).
Contoh: Y = (X2+3)3dY/dX = 3(X2+3)2.(2X)= ….?Contoh: Y = (X2+3)3….dY/dX=…..?Contoh: Y = (X+3)-1/3….dY/dX=….?

Lanjutan: Aturan (8): Turunan Fungsi Logaritma
Log: menunjukkan logaritma biasa(bilangan dasar log = 10).Ln : menunjukkan logaritma natural(bilangan dasar logaritma adalah e;dimana : e = 2,71828).Ln X = eLog X.
Lanjutan: Rumus (1): Untuk Log Biasa Y= aLog U ; U = f(X).

dY/dX = (aLog e/ U). (dU/dX)Contoh: Y = Log 2X; U = 2XdY/dX = (Log e) / (2X). (2).= (2 Log e)/ 2X= (2 Log 2,71828)/2
Lanjutan: Contoh: Y = Log X/ (X+1); U = X/(X+1). Y= aLog U ; U = f(X).

dY/dX = (aLog e/ U). (dU/dX)dY/dX = ……….?

Lanjutan: Contoh: Y = (Log X2)3 ; U = Log X2.
dY/dX = 3 (LogX2)2 (U’); U’ = ….?dY/dX = …….?

Rumus (2): Untuk Log.natural. Y = Ln U; U = f(X)
dY/dX = 1/U. dU/dX.Contoh: Y = ½ Ln (X2+1); U= X2+1Y = ½ Ln U.dY/dX= ½ [(1/U). (dU/dX)] = ….?

Lanjutan: Turunan Fungsi Eksponen Y = aU; U = f(X).
dY/dX = aU.Lna.(dU/dX)C0ntoh:Y = 2-X ; U = -XdY/dX = 2-X. Ln2. (-1)= - 2-X.Ln2= - Ln2/(2X)